问题描述：
求下面这个无穷级数的和：
$$
\sum_{b=0}^{\infty} a^b = 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots
$$
其中 $ b $ 是从 0 到正无穷的整数，也就是说这是一个等比数列的无穷和。
✅ 推导过程：
设这个无穷级数的和为 $ S $：
$$
S = \sum_{b=0}^{\infty} a^b = 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots
$$
这个是一个首项为 1、公比为 $ a $ 的等比数列。
一、先看有限项的和：
前 $ n+1 $ 项的和是：
$$
S_n = 1 + a + a^2 + \cdots + a^n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}, \quad (a \neq 1)
$$
二、考虑当 $ n \to \infty $ 时的极限：
如果 $ |a| < 1 $，那么 $ a^{n+1} \to 0 $，所以：
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{1 - a}
$$
✅ 最终结论：
当 $ |a| < 1 $ 时，无穷等比数列的和收敛，且：
$$
\sum_{b=0}^{\infty} a^b = \frac{1}{1 - a}
$$
⚠️ 注意条件：
- 这个公式成立的前提是：**$ |a| < 1 $**
- 如果 $ |a| \geq 1 $，这个级数会发散（即和趋于无穷）
📌 示例：
比如取 $ a = \frac{1}{2} $，那么：
$$
\sum_{b=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^b = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
$$
验证一下部分和：
- 前 4 项加起来 ≈ 1.875
- 趋向于 2，符合公式
详解有限项的和
有限项的和公式：
$$
S_n = 1 + a + a^2 + \cdots + a^n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}, \quad (a \neq 1)
$$
🔍 一、背景：等比数列（几何级数）
这是一个等比数列（Geometric Sequence）：
$$
a^0 = 1,\ a^1 = a,\ a^2,\ a^3,\ \dots,\ a^n
$$
它的特点是：每一项与前一项的比值是一个常数 $ a $，这个常数叫做公比。
我们要计算的是这些项的和：
$$
S_n = a^0 + a^1 + a^2 + \cdots + a^n = \sum_{k=0}^{n} a^k
$$
🧮 二、推导有限项和的方法
我们用一个经典的代数方法来推导这个公式：
步骤 1：设总和为 $ S_n $
$$
S_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^n
$$
步骤 2：两边同乘以公比 $ a $
$$
a S_n = a(1 + a + a^2 + \cdots + a^n) = a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{n+1}
$$
步骤 3：原式减去乘后的式子
$$
S_n - a S_n = (1 + a + a^2 + \cdots + a^n) - (a + a^2 + \cdots + a^{n+1})
$$
观察一下，右边很多项可以抵消掉：
$$
S_n(1 - a) = 1 - a^{n+1}
$$
步骤 4：解出 $ S_n $
只要 $ a \neq 1 $，我们可以除以 $ 1 - a $：
$$
S_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}
$$
✅ 三、这个公式的意义
它给出了从第 0 项到第 $ n $ 项的等比数列前 $ n+1 $ 项之和
当 $ |a| < 1 $，随着 $ n \to \infty $，$ a^{n+1} \to 0 $，所以：
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{1 - a}
$$这就是我们前面说的无穷等比级数的和公式
⚠️ 四、特殊情况处理
如果 $ a = 1 $，那么所有项都是 1，和变成：
$$
S_n = 1 + 1 + \cdots + 1 = n + 1
$$所以不能使用上面那个公式（因为分母为 0），必须单独讨论。
📌 五、总结
| 条件 | 公式 |
|---|---|
| $ a \neq 1 $, 有限项 | $ \displaystyle S_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} $ |
| $ | a |
| $ a = 1 $, 任意项 | $ \displaystyle S_n = n + 1 $ |
结语
第三百三十六篇博文写完，开心！！！！
今天，也是充满希望的一天。
